脱殊扩张:是说包含V可定义的偏序集P然后P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G
这个脱殊滤子对于V而言就有一种transdence的感觉(即脱殊)接着然后通过把G加到V中来产生一个新的结构:(V的)
脱殊扩张VG作为一个ZFC的模型。
那么脱殊复宇宙就是:拥有在所有的力迫扩张(和一些groundodels)下closure形式的宇宙V
这是wood的成果之一。
它确保了广义连续统的成立。
脱殊复宇宙假设:脱殊复宇宙假设认为我们所处的宇宙只是个例子,存在着许多类似于我们宇宙的其他宇宙,每个宇宙都有其自己独特的物理规律和初始条件。这些不同的宇宙被称为“平行宇宙”
脱殊复宇宙与复宇宙:在Haks关于复宇宙的描述出现之前,Wood等人就提出过脱殊复宇宙generiultiverse的概念参见12、14等
Haks的复宇宙概念与脱殊复宇宙概念有较密切的联系但不尽相同
脱殊复宇宙是由一些宇宙生成的在力迫扩张关系的对称闭包关系下封闭的集合论宇宙的聚合
例如,假设M是一个可数传递的ZFC模型
任给可数传递ZFC模型M1,M2,我们定义M1~Mz当且仅当M2是M;的力迫扩张或M;是M2的力迫扩张,则VaM是由M生成的脱殊复宇宙
定理Laver9WoodReitz10如果V是W的力迫扩张即W是V的基模型,那么W是V的内模型
并且存在V的所有基模型的统一的定义
即,存在集合论公式pr,3使得,如果VWG是由W中的偏序P上的脱殊滤GCP生成的脱殊扩张,那么存在rW使Wfxra3
根据上述定理,容易看出Haks的复宇宙概念由于满足可实现公理和力迫扩张公理因而也是脱殊复宇宙
显然,脱殊复宇宙的强调的封闭性弱于复宇宙,这是因为,Haks通过复宇宙概念希望表达的是他关于集合论宇宙二阶存在的多宇宙观,而我认为脱殊复宇宙在Wood等人著作中被提出是实在论者在执行哥德尔计划过程中向形式主义的妥协脱殊复宇宙
定义1
令M为ZFC的可数传递模型,则由M生成的脱殊多宇宙VM为满足以下条件的最小模型类
1M∈VM
2如果N∈VM,而NNG是N的脱殊扩张,则N∈VM
3如果N∈VM,而NNG是N的脱殊扩张,则N∈VM。
简单说,VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V。
定义22脱殊多宇宙的真对任意ZFC的可数传递模型M,和对任意集合论语言中的语句σ,我们称σ是M脱殊多宇宙真的,当且仅当它在VM的每个模型中都真,记作VMσ
σ是M脱殊多宇宙假的当且仅当VMF7σ
σ是M脱殊多宇宙无意义的当且仅当VMFσ并且VMF7σ。
特别地,如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真,则称σ是脱殊多宇宙真的,记作Vσ。
脱殊扩张力迫法
连续统假设的否定的一一致性,即222
ZFCCoZFC→CoZFCCH
与哥德尔对已有zFC模型M进行限制从而得到满足特定命题的子模型L“的构造方式不同,力迫法所构造的模型MGI是包含给定模型M为其子模型的更大的模型。
假设ZFC一致,那么由哥德尔的逻辑完全性定理”。
就存在一个ZFC的集合模型。
再由定理235
及Motowsh坍塌,可以得到一个ZFe的可数传递模型,我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型grondoder
元素称作条件onditon
对ng∈p,若μ≤qw≤η或ρ∞小
我们称条件p比η强若p⊥小
即不存在r∈P满足r≤ρ且r≤小
则称条件ρ与q不相容或不能同真。
定义220假设P是偏序我们称DSP是網密的dewe
当且仅当对任意ρ∈P,存在η∈D满足η≤p
给定pEP
我们说DSP在p之下稠密。
当且仅当DNPIp是PIr的稠密F集,其中PIpq∈Pqs小。
定义227假设P是偏序,我们称FCP是偏序P上的滤,当且仅当PP
2若p∈F且papapapapapapapapapapapapapapapapapapaplty则η∈F
定义228假设P是模型M中的偏序,G是偏序P上的滤
我们称P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G
我们一般要求力迫法的原模型M是可数的,是因为这样的话,对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。
假文D1apapapapapapapapapapapapapapapapapapapltN是M中所有所有D
都是稠密的,所以p总能够取到。
令Gv∈P3iapapapapapapapapapapapapapapapapapapapltnws小
容易证明,G是滤,并且是M脱殊滤。
因此,可数模型中的任意偏序上总存在脱严格来说,我们对于用来力迫的条件集,印偏序P没有任何额外要求。
但在力迫法的实际运用中,偏序集P椰满足如下性质,22
对任意p∈P,存在qsprSμ满足q⊥r
定理229P∈M1是偏序。
P满足223
当且仪当任意P上脱殊
因此,对于不满足223的偏序,存在其上脱殊滤G∈M
又根据定理216
由此生成的脱殊模型MICM,将没有意义。
我们称之为平凡力迫。
他的世界,而这种在M中的人们看来可能的世界。
在M“之外”的人们看来却是一个现实的集合模型MIG
我们定义M中人们用来指称MIC中对象的专名但名的集合M“
定义2210r是P名,当且仅当是关系,且对任意D∈T,π是只名且ρ∈P
注意,上述定义应理解为递归定义。而并非循环定义。
定义2211τ是P名,G是脱殊滤?t°1Br∈,1E小
定义脱蛛扩张
MIGr°IreMr
注意,r的定义也是递归的。
我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名。
定义2218G川1pe则
注意,C其实不依赖于具体的脱殊滤G且C∈MG是M中的人们用来指称G的名字,但生活在M中的人并不知道G到底是什么,事实上,的解杯定21,包括G自身Mq
最后,我们定义力迫语言的语义。
即条件与力迫讯言公式之间的力迫关系
定义22川μ4η≤加当且仅当对任意,nen集p啡η一η当且仅当ρlηSηHplηζη
l在之下稠密当集合0≤p30n∈n60≤rλ9θπ2pHρ入ψ
当且仅当pHp且pe
3plHψ
当且仅当对任意ηSp井非q14
pFarp,当且仅当集合veP3r是P名4在ρ之下
上建定文中,中的n
是基于办刀所属阶层的遭归定义
该部分,即条件与原子公式的力迫条件与原子公式的力迫关系。
在M下是绝对的。而整个定义。
即v,
应被视为基于公式复尔度的通的定义。
注意于和中的无外量调物,所以一力迫关系可理解为MN中的人“所掌握的关于MC的一般知识的体系。