摘要：本文探讨了?Zerlo中的逻辑带有选择的Fraenkel集合论（ZFC）。
二者之间的范畴对偶余代数和代数允许ZFC的布尔值代数模型被解释为煤焦。
的模态轮廓?逻辑有效性可以然后在一个代数逻辑中得到支持，以及?逻辑有效性可以通过确定性自动机来定义。
我认为哲学上述内容的意义有两个方面。
首先，因为认识论和的模态轮廓?逻辑有效性与二阶有效性相对应逻辑结果，?逻辑有效性是真正合乎逻辑的。
第二前面提供了对数学解释的模态说明词汇。
1简介
本文考察了结果关系的哲学意义在中定义?集合论语言的逻辑。
我认为，和第二个一样秩序逻辑，有效性的模态轮廓?逻辑使属性在认识上易于处理。
由于余代数和代数之间的对偶性集合论的布尔值模型可以被解释为余代数。
在里面第2节，我演示了?逻辑有效性可以是在一个argebraic逻辑中，以及如何?逻辑有效性可以进一步通过自动机定义。
最后，在第3节中的模态轮廓的表征?哲学的逻辑有效性数学考试。
我认为?逻辑有效性是真正合乎逻辑的，以及（ii）它提供了对“集合”概念的形式把握的模态描述。
第4节提供结论性意见。
2定义
在这一节中，我定义了ZerloFrenkel集合论的选择公理。
我定义了大基数公理的数学性质，它可以与ZFC相邻，我提供了特性的详细表征属于?ZFC的逻辑。
因为余代数是布尔值代数的对偶的型号?逻辑，然后刻画了一类代数逻辑建模模态逻辑和确定性自动机。
模态代数模型的自动机提供了模态的精确表征以及?逻辑有效性。
21Axios1
?Extensionality
?x，y?zz∈x??z∈y→xy
?EptySet
?x?yy∈x
?Pairg
?x，y?z?ww∈z??wx∨wy
?Union
?x?y?zz∈y???ww∈x∧z∈w
?Powerset
?x?y?zz∈y??z?x
?Separationwith?→xaparater
??→x，y?z?ww∈z??w∈y∧Aw，?→x
?Infity
?x?∈x∧?yy∈x→y∪y∈x
?Foundation
?x?yy∈x→?y∈x?z∈xz∈y
?Rept
?x，?→y?z∈x?wAz，w，?→y→?u?ww∈u???z∈xAz，w，?→y
?Choice
?x?∈x→?f∈x→∪x?y∈xfy∈y
22大基数
实数的Borel集是ωω或R，在可数交集下闭合和并集。
2对于所有序数，a，使得0＜a＜ω1，并且b＜a，∑0a表示ω的开子集在π0中集合的可数并集下形成的ωb，和π0一表示ω的闭子集ω在∑的可数交集下形成0b。
实数的投影集是ωω、由互补（ωω–u、对于u?ωω）投影p（u）?x1，…，xn?∈ωω?y?x1，xn，y∈u｝。
对于所有的序数a，使得0＜a＜ω，π10表示ω的闭子集ω；π1一是通过取ω的开子集的补集而形成的ω、∑1一；和∑1a1是由π1中集合的投影形成一。
全幂集运算定义了集的累积层次结构V，例如V0?；Va1?（V0）；和Vλa＜λVa。
在内部模型程序中（参见Wood，200120102011；Kanaori，2012，a，b），可定义的幂集运算定义了可构造的宇宙，L（R），在集合V的宇宙中，其中集合是可传递的，使得a∈C??a?C；L（R）Vω1；La1（R）Def（La（R））；且Lλ（R）a＜λ（La（R））。
通过内部模型，G?del（1940）证明了广义连续体假说，?一?a?a1，以及选择公理，相对于ZFC的公理。
然而，对于序数的可数传递集MZF的一个模型没有选择，可以定义一个泛型集G，这样，对于所有公式，ξ，或者是，都是由G中的条件f强制的。
设MGa＜κMaG，使得M0GG；其中λ＜κ，MλGa＜λMaG；和Ma1GVa?MaG3G是M上的实，它包含一个集强迫集合力的关系，?，可以在地上定义模型M，使得强迫条件f是ω转化为0，1，并且如果f（u）1则f?u∈G，如果f（u）0则f⊕u∈G。
基数开放稠密地面模型的M和一般扩展G是相同的，仅当满足可数链条件（c），使得给定一个链即，偏序（自反、反对称，传递）集apapapap存在一个可数的、最大的反链，由成对的不兼容的强制条件。
通过集强制扩展，（19631964）构造了ZF模型，该模型否定了广义连续体假设，从而证明了它相对于ZF公理的独立性G?del（19461990：12）提出，Orey句子的价值如果有人利用更有力的理论，新的无穷大公理——即大基数公理——是邻接的。
5他写道：“在集合论中，例如，连续扩展可以用更强和更强的无穷大公理。
当然不可能给出一个组合以及关于什么是无穷大公理的可判定的特征；但是可能存在，例如，以下类型的特征：无穷大公理是具有某种（可判定的）形式结构并且在加法是正确的。
这种可证明性的概念可能具有所需的闭包性质，即以下可能为真：集合论的任何证明在集合论之上的下一个更高系统中的定理。
可由证明替换从这样一个无穷大的公理。
对于这样一个概念可证明性——一个完整性定理会成立，它会说集合论中可表达的每一个命题都可由现有公理加判定关于集合宇宙的大性的一些真实断言。
对于基数，x，a，C，C?a在a中是无界闭的，如果它是闭的如果x＜C和则a∈C和无界（Ca）（Kanaori，同前：360）。
基数S在A中是静止的，如果，对于任何闭无界C?A，CüS??（同前）。
理想是在可数并集下闭合的集合的子集，而滤波器是在可数交集下闭合的子集（361）。
基数κis正则ifκ的共尾性由具有基数的集合的并集组成小于κ–与κ相同。
不可计数的正则极限基数是弱的不可访问的（同前）。
强不可访问基数是正则的，具有强极限，使得如果λ＜κ，则2λ＜κ（同前）。
大基数公理是由初等嵌入定义的，
因此可以定义嵌入。
对于模型A、B和条件ξ、jA→B
ξ?a1，A中的an当且仅当Γ?j（a1），j（an）?在B（363）中。
可测量基数被定义为由j的临界点crit（j）（Koellner和Wood，20107）。
可测量基数是不可访问的（Kanaori，同前）。
设κ为基数，η＞κ为序数。
κ则η强，如果存在传递类M与初等嵌入jV→M、使得crit（j）κ、j（κ）＞η和Vη?M（Koellner和Wood，同前）。
κ是强的当且仅当，对于所有η，它是η强的（同前）。
如果A是一个类，κ是ηA强，如果存在jV→M、使得κ是η强
和j（A≠Vκ。
κ是Wood基数，如果κ是强不可访问的，并且对于所有a?Vκ是基数κa＜κ，使得κa是ηa强的，对于所有η，使得κη，η＜κ
（Koellner和Wood，同前：8）。
κ是超容，如果jV→M、使得crit（j）κ和Vj（κ）?M导致κ以下存在任意大的Wood基数（同前）。
大基数公理可以定义如下。
?xΦ是一个大型基数公理，因为：
（i）Φx是一个∑2公式，其中一个句子是∑2条件，如果它是
形式：存在一个序数α使得Vα?ψ，对于某个句子ψ（Wood，2019）；
（ii）如果κ是基数，使得VΦ（κ），则κ是强不可访问的；
（iii）对于所有的一般偏序P∈Vκ，VPΦ（κ）；INS是非平稳的完美的AG是L（R）中实数的正则表示，即解释MG中的A；H（κ）由其传递闭包为＜κ（参见Wood，2001569）；和L（R）Pax?H（ω2），∈，INS，AG?“ξ”。
P是L（R）中的齐次偏序，使得L（RP继承了L（R）的一般不变性，即绝对性。
因此，L（R）最大功率是（i）有效完备的，即在集强制扩展下不变；和（ii）极大，即满足所有的π2条件，因此通过集强制一致
地面模型（Wood，s28）。
假设ZFC，并且存在一个适当的Wood基数类；A∈P（R）ΓL（R）；Γ是一个π2项；和V（G），st?HZ（ω2），∈，INS，AG?“ξ”：那么，可以证明L（R）Pax?H（ω2），∈，INS，AG?“ξ”，其中“Γ”：A∈Γ∞H（ω1），∈，Aψ。
确定性公理（AD）指出，每一组实数，一个?ood（1999）的Axio（）可以这样支持：
ADL（R）和L（Pω，
由此可以导出2?0?2
因此，CH；因此CH是绝对可以决定。
在最近的工作中，Wood（2019）提供了证据，证明CH可能对比，是真的。
CH的真相将从Wood的真相中走出来
终极L猜想。
以下定义来自Wood（同前）：
传递类是一个内部模型，如果，对于序数Ord的类，HK
Ord?M和M?ZFC’。
L、可构造实和HOD，可遗传有序可定义集合是内部模型假设N是一个内部模型a是V的不可数（正则）基数。
N具有a覆盖性质，如果所有的σ?N，如果σ＜a，则存在τ∈N使得：σ?τ和τ＜a。
N具有a近似性质，如果对于所有集合X?N
等价：（i）X∈N和（ii）对于所有σ∈N，如果σ＜a，则σ∈X∈N。
假设N是一个内部模型，并且σ?N。
那么Nσ表示最小的内部模型，
使得N?M和σ∈M。
假设N是一个内部模型，a是强烈不可访问。
则N具有a泛型性质，如果对于所有σ?a，
如果σ＜a，则Nσ≠Va是N∈Va的扩张UltiateL则表示（i）存在一类适当的Wood基数，和（ii）对于每一个∑2项ξ，如果Γ在V中成立，则存在普遍的Baire
集合A?R使得HODL（A，R）?拓扑空间?并且对于所有连续函数π：?→R
n、原像
π对A在空间中具有Baire性质?’Baire的财产
如果，对于拓扑空间a?X的子集，存在这样的开集U8838X
其中，U是一个极小子集，其中，是对称差，即相对补的并集，并且拓扑空间的子集是贫乏的，如果它是无处稠密集的可数并集，其中的无处稠密子集如果它们与开集的并集不是稠密的，则拓扑成立。
终极L猜想如下：“假设a是一个可扩展基数。
a是一个可扩展基数如果对于每个λ＞a存在一个初等嵌入jVλ1→Vj（λ）1使得CRT（j）a并且j（a）＞λ。
然后可以证明是内部模型N，使得：1。
N具有a覆盖和a近似属性。
2N具有a泛型性质。
3N?V最终L“（Wood，同前）。
23?思维方式
对于偏序，P，设VPVB，其中B是（P）8Ma（Va）M和MBa（VB一M（VMB一。
Sent表示一组句子在集合论的一阶语言中。T?｛ξ｝是一组扩展的句子ZFC。
ct缩写了可数传递性∈模型的概念。cBa。
缩写了完全布尔代数的概念。
在V中定义cBa，这样VB让VB0?；VBλb＜λVBb，其中λa极限序数；VBa1＝｛fX→BX?VBa；和VBa∈OnVB一。
ξ在VB中为真，如果其布尔值为1B，当且仅当VBB1B。
因此，对于所有序数，a和每个cBaB，VBa≠（Va）
五、B所有x∈VB的iff，y∈VBxyB1Biffx∈VBB1B。
然后，VBaΓiffVB“Vaξ”。
?则逻辑有效性可以定义如下：
对于T?｛ξ｝?Sent，
T?如果对于所有序数，a和cBaB，如果VB一T，然后VB一ξ。
假设存在一类适当的Wood基数，并且如果T?｛ξ｝?Sent，则对于所有设置的强制条件，P
T?ΓiffVTT?ξ’，
其中T?Γlect?T?ξ’。
这个?猜想指出V?ξiffVB?ξ（Wood，s）。
因此?逻辑有效性在中的地面模型的所有集强制扩展中是不变的
集合论宇宙。
?逻辑是由普遍的拜尔实数集定义的。
对于一个基数，e，设集合a是e泛Baire，如果对于所有偏序P基数e，ωXλ上存在树S和T，使得ApT并且如果G?P是泛型的，则PTGRG–pSG（Koellner，2013）。
A是普遍的Baire，如果它是euniversallyBaireforalle（同前）。
?逻辑是健全的，因此V???→V?。
然而，完整性属于?逻辑尚未解决。
最后，在范畴理论中，范畴C由为每对对象C（a，B）对象一组箭头（Venea，2007421）。
范畴C到范畴D的函子，EC→D、是操作映射对象和C的箭头到对象和D的箭头（422）。
上的一个内函子C是函子，EC→C（同前）。
E余代数是一对A（A，μ），其中A是C的对象，称为A的载体，和μA→E（A）是C中的箭头，称为过渡
A的地图（390）。
A?A，μ：A→E（A）?是函子上代数范畴的对偶μ（417418）。
如果μ是集合范畴上的函子，则余代数模型是对偶到布尔代数模型?逻辑有效性。
上述内容的意义在于，代数模型本身可能以便定义模态逻辑和自动机。
Coalgebras提供。
因此，集合论的布尔值模型的配置文件?逻辑有效性，并且自动机可以相互定义。
在下文中，A将包括余代数模型——对偶到完全布尔值定义在?ZFC的逻辑——其中模态相似类型和自动机是可定义的。
作为模态逻辑的一个代数模型，a可以定义为如下（407）：
对于一组公式，Φ，设?Φ：□Φ∧Φ，其中Φ表示设?ξΓ∈Φ（同前）。
然后，?ξlect?Γ，T，
□Γlect??∧?Γ（同前）
?Φ＝?ΓΓ∈Φ和?ξ∈|Β，ΓξRw??
（方丹，201017）。
设一个E余代数模态模型，A?S，λ，R?，其中λ（S）是命题字母的选择在s中的s为真，并且Rs是s的后继集
在S中，使得S，S??Φ当且仅当，对于S∈S的所有（一些）后继σ，Φ，σ（s）∈E（?A）（Venea，2007399407），其中E（⊕A）是满足关系?A?SxΦ。
设函子K为关系K?K（A）xK（A）（Venea，201217））。
设Z为二元关系stZ?AxA和?Z??（A）x?（A），带有?Z＝（X，X）?X∈X?X∈X与（X，X）∈Z∧（同前）。
然后，我们可以定义关系提升，K！，如下所示：
K（π，X），（π，X）ππ和（X，X?Z（Venea，201217）。
因此可以定义确定性自动机的代数模型（Venea，2007391）。
自动机是一个元组，a?a，aI，C，?，F?，使得A是自动机A的状态空间；aI∈A是自动机的初始状态；C是自动机字母表的编码，将数字映射到自然数；?AXC→A是一个转换函数，F?A是容许状态的集合，其中F将A映射到1，0，使得FA→1如果a∈F和a→如果a∈F为0（同前）。
代数自动机的确定性其范畴与满足?逻辑结果，是由Wood基数的存在所保证的：假设ZFC，则λ是Wood基数的极限，即存在一个通用的集强制扩展G?ω＜λ的坍缩，并且R｛RGaa＜λ，则R确定性（AD）（Koellner和Wood，同前：10）。
模态自动机是在模态一步语言上定义的（Venea，2020：72）当A是命题变量的集合时，格的集合Latt（X）
X上的项具有以下语法：
π：：??xπ∧，其中x∈x和π∈Latt（A）（同前）。
模态一步公式在A上的集合1ML（A）具有以下g马尔：
α∈A：???π□πα∧αα?α（同前）。
模态P自动机A是三元组（A，θ，aI），其中A是非空有限一组状态，aI∈A，一个初始状态，和过渡映射θ：Ax?P→1ML（A）将状态映射到模态一步公式，具有?P命题字母，P（同前：73）。
最后，A?A，α：A→E（A）?是代数范畴的对偶函子α（417418）。
对于范畴C、对象a和内函子E，定义新箭头，α，stα：EA→A可以进一步定义同态f在代数?A，α?和10216B，β10217之间。
那么，对于代数的范畴可以定义以下交换平方：（i）EA→EB（Ef）；（ii）EA→A
（α）；（iii）EB→B（β）；和（iv）A→B（f）（参见Hughes，200178）。
还是一样余代数范畴的交换平方成立，使得后者通过反转（ii）A中态射的方向来定义→EA（α）和（iii）B→EB（β）（同前）。
因此，A是模态、确定性自动机、对偶的代数范畴到的完全布尔值代数模型?定义的逻辑有效性。
在集合的范畴中
LeachKroe（s）定义了?结果令人满意
以下公理：
对于一个理论T和□ξ：TBα?ZFC?TBα，
ZFC?ZFC?□?
ZFC?□（→ψ）→□?→□ψ）
ZFC?□→ZFC
ZFC?□→□□?
ZFC?□□?→ξ）→□?
□□?→ψ）∧□□ψ∧ψ→Γ），其中添加到GL的该条款是逻辑
在ZFC中“所有Vκ为真，所有κ强不可访问”。
3讨论
本节探讨了莫代尔哥尔布雷克的哲学意义toata和它们所对应的集合论语言的布尔值模型是双重的。
我认为，类似于二阶逻辑结果，（I）的“数学纠缠”?逻辑有效性不会破坏其sta作为纯粹逻辑关系的t；以及（ii）模态剖面和模型的理论表征?逻辑后果为其情节提供了指导因此，我认为有几个考虑因素赞成集合概念的解释是构成性的涉及模态概念。
语气词范畴的作用istic自动机在（i）表征?逻辑结果，以及（ii）构成了该概念的形式理解条件集合的概念，为累积的现实主义概念提供了支持等级制度。
31?逻辑有效性是真正合乎逻辑的
Frege（18841980；18932013）的建议——基数可以是通过指定的同一性和等价性之间的双条件来说明概念上的关系，可以用二阶逻辑的特征来表达——是第一次尝试在逻辑的基础上为数学提供基础公理而非理性或经验直觉。
在弗雷格（18841980。引用：68）和Wright（1983104105），概念A的数量被认为是与概念的数量B相同，当且仅当存在一对一A和B之间的对应关系，即存在来自A的双射映射R对于Nx：一个数值项形成算子，?A→?y（通过∧Rxy∧?z（Bz∧Rxz→yz）∧?yBy→?x（Ax∧Rxy∧?z（Az∧→x＝z））。
Frege定理指出
算术可以从前面的抽象原理推导出来，作为扩充到二阶逻辑和恒等式的签名。
11因此，如果二阶逻辑可以算作纯逻辑，尽管二阶模型的域可以通过幂集运算来定义，那么哲学的一个方面抽象主义程序的意义在于它提供了一个基础，关于以非增广的纯逻辑为基础的经典数学抽象原理所表达的逻辑隐含定义。
ZFC中定义的逻辑可能至少有三个原因不破坏其后果关系的逻辑地位。
第一个数学纠缠的原因?逻辑有效性可能是无伤大雅的是，正如夏皮罗（1991514）所指出的，许多数学性质不能在一阶逻辑中定义，而是需要表达式二阶逻辑资源。
例如，良好基础的概念不能在一阶框架中表达，如对紧凑性。
设E为二元关系。
如果不存在无限序列，a0，ai，使得Ea0，Eai1都是真的。